\(¨\)
Mene osoitteeseen: r.jyu.fi/m3d
Matriisit ja 3D
1. Matriisilla kuvaaminen
1.1 2x2 matriisilla kuvaaminen
Kuvataan aluksi mökki itsekirjoitetulla matriisilla (lineaarikuvauksella). Matriisin diagonaalilla olevilla arvoilla voit vaikuttaa x- ja y-suuntaiseen skaalaukseen. Kokeile. Kokeile myös mitä tapahtuu mökille, mikäli laitat paikkaan [1,2] 0:sta eroavan arvon.
Huomataan että vaikka tehtäisiin millainen tahansa 2x2 matriisi, ei mökin vasenta alanurkkaa (origoa) saada kuvautumaan muualle kuin origoon.
1.2 Siirtyminen eri dimensioon
Mikäli tarkastellaan suoralla \(y=1\) olevia "kuvia", niitä voidaankin "siirtää", mikäli matriin paikkaan [1,2] laitetaan 0:sta eroava arvo.
2. Kuvaaminen 3x3 matriisilla
Käyttäen edellistä havaintoja, voidaan xy-tason 2-ulotteisia kuvioita siirtää, mikäli ne piirretään 3-ulotteisessa avaruudessa tasoon \(z = 1\) ja kuvauksen jälkeen projiisoidaan takaisin tasoon xy.
3. Lineaarisuus
Seuraavaksi lasketaan käsin mökin kunkin pisteen koordinaatti ja piirretään mökki itse.
Laske alla mökin kullekin pisteelle kuvapisteen arvo ja piirrä vastaava piste "ruksina" yllä olevaan kuvaan. Yhdistä sitten "ruksit" viivoilla. Näppäin C (=clear) tyhjentää piirroksen.
Alla on avuksi "ohjelma", jolla voit laskea eri pisteiden kuvien koordinaatteja.
4. Yhdistetty kuvaus
Edellä matriisi A on oikeastaan yhdistetty kuvaus skaalauksesta (S=scale) ja siirrosta (M=move). Nämä voidaan erottaa omiksi matriiseikseen. Oikeastihan asia tehdään toisinpäin. Ensin kappaletta esimerkiksi halutaan skaalata, sitten siirtää ja sitten vaikkapa kiertää. Jottei jokaista muunnosta tarvitse laskea erikseen jokaiselle pisteelle, voidaan eri kuvaukset muodostaa yhdistetyksi kuvaukseksi kertomalla edellisen kuvauksen matriisi vasemmalta uuden kuvauksen matriisilla. Ja siten tätä yhdistettyä kuvausta sovelletaan jokaiselle pisteelle (eli jokainen piste kerrotaan yhdistetyä kuvausta vastaavalla matriisilla).
Samasta vielä esimerkki 90 asteen kierron avulla.
These are the current permissions for this document; please modify if needed. You can always modify these permissions from the manage page.