Joukko-opista fraktaaleihin

Ohjeita käyttäjälle

Materiaali koostuu viidestä alaluvusta, jotka sisältävät tehtäviä, teoriaa sekä esimerkkejä liittyen joukko-oppiin ja fraktaaleihin. Löydät sisällysluettelon linkkeineen sivun vasemmasta reunasta.

Materiaali on pyritty suunnittelemaan niin, että sitä voidaan hyödyntää sekä oppitunneilla että itsenäisessä opiskelussa. Tehtäviä suositellaan tekemään annetussa järjestyksessä, sillä jokainen osio sisältää oman oppisisältönsä sekä mahdollisesti tärkeää taustatietoa seuraaviin tehtäviin.

Suurin osa tehtävistä on rakennettu siten, että vastaukset voi tallentaa tai
tarkistaa tehtävän yhteydessä. Tehtävät ovat tyypiltään sellaisia, että laskimeen ei tarvitse turvautua. Jos tehtävässä käsketään hyödyntämään vapaavalintaista ohjelmistoa, sen yhteyteen on lisätty kohta, johon voit ladata kuvakaappauksen tai vastaustiedoston, kun olet saanut tehtävän valmiiksi. Näin voit tallentaa kaikki vastaukset tälle sivulle. Jos teet tehtävän paperille, voit ottaa siitä kuvan ja ladata palautuskohtaan.

Ohjeita vastaamiseen:

Osa tehtävistä avautuu kokonaiseksi vasta kun viet kursorin tehtävän päälle.
-merkki tarkoittaa sulkeutuvaa aluetta, jota klikkaamalla saat näkyviin piilotetun sisällön, esim. vastausikkunan, kysymykset tai mallivastauksen.
Kaikista tehtävissä ei tule erillistä ilmoitusta, menikö vastaus oikein vai väärin. Etsi tällöin Points tehtävän yläreunasta:
- Jos Points: 0 niin vastaus ei ole oikein. Alusta tehtävä ja kokeile uudelleen. Huom. joissain tehtävissä vastauskertojen määrä on rajoitettu.
- Jos Points: 1 tai enemmän, vastaus meni oikein.
Tekstivastauksista ei tule automaattisesti pisteitä eikä oikein/väärin -ilmoitusta, mutta opettaja voi halutessaan pisteyttää nämä tehtävät.

Muita vinkkejä:

Voit merkitä alueen luetuksi klikkaamalla sivun oikeassa reunassa näkyvää oranssia palkkia.
Oikean reunan merkistä voit lisätä kyseiseen kohtaan julkisen kommentin tai tehdä muistiinpanoja, jotka näkyvät vain itsellesi (Just me).
Jos reuna on keltainen, materiaaliin on tehty muutoksia sen jälkeen, kun olet lukenut sen.
Materiaalin lopusta löytyy ylimääräisiä paikkoja vastaustiedostojen palauttamiselle.
Aivan materiaalin lopusta löydät ylimääräisiä palautuspaikkoja vastaustiedostolle

1. Johdatus joukko-oppiin

1.1 Johdantotehtävä 1

# johdatustehtava

1.2 Johdantotehtävä 2

Tässä tehtävässä tarvitset jotain ohjelmista, jolla voi piirtää. Esimerkiksi GeoGebran online-version voit avata alla olevasta pudotusvalikosta.

Avaa GeoGebra tästä!

appletti

Seuraa tarkasti ohjeistusta, ja vastaa tämän jälkeen tehtäviin. Tehtävät löydät pudotusvalikoista hieman alempaa.

1. Piirrä GeoGebralla kolme erilaista ellipsiä siten, että voit liikuttaa niitä vapaasti raahaamalla.

2. Nimeä ellipsit seuraavasti: $\begin{align*} &\mathbb{N} \text{ luonnolliset luvut} \\ &\mathbb{Z} \text{ kokonaisluvut}\\ &\mathbb{R} \text{ reaaliluvut}\\ \end{align*}$

3. Lajittele seuraavat luvut oikeisiin ellipseihin: $\begin{align*} \pi,\; \frac{3}{5},\; 20,\; -5,\;3.08,\; e \end{align*}$

4. Ota kuvakaappaus tekemästäsi kuviosta ja palauta se alla olevaan palautuslaatikkoon.

2.2 Johdantotehtävän palautuslaatikko

# Johdantotehtava2palautuslaatikko

Avaa tehtävät tästä!

a. Mitä havaitset lukujen sijoittamisessa?

# tehtava1_2a

b. Jos voisit sijoittaa jokaisen luvun vain kerran ympyröihin ja ellipseihin, kuinka ympyrät ja ellipsit tulisi asetella?

# tehtava1_2b

2. Joukko-opin käsitteitä

Johdantotehtävässä 2 muodostamasi ympyrät tai ellipsit ovat esimerkkejä joukoista. Luvut, joita asetit ympyröiden sisälle, ovat nimeltään alkioita, eli joukon jäseniä. Joukossa voi olla ääretön tai äärellinen määrä alkioita.

Joukot ja alkiot

Olkoon joukko $\begin{align*} S=\{\text{a},\text{ b},\text{ c},\text{ d}\}. \end{align*}$

Lukuja $\text{a}$ , $\text{b}$ , $\text{c}$ , ja $\text{d}$ kutsutaan joukon alkioiksi.

Jos alkio kuuluu joukkoon , merkitään $\begin{align*} a\in S. \end{align*}$ Jos alkio ei kuulu joukkoon , merkitään $\begin{align*} a\not\in S. \end{align*}$

Joukko voi olla myös tyhjä joukko, jolloin joukossa ei ole yhtään alkiota ja tällöin merkitään $S=\emptyset$ .

Kaksi joukkoa ovat samat, jos niillä on samat alkiot. Eli $\begin{align*} A=B \text{, jos } a\in A \text{ silloin ja vain silloin, kun } a\in B. \end{align*}$

# t21

2.1 Tehtävä: Joukot ja niiden alkiot

Kuvassa on hahmoteltu joukot , ja , ja niihin sisältyvät alkiot. Valitse oikeat vastaus!

# 2_1_a

# 2_1_b

# 2_1_c

Joukon alkioista voidaan muodostaa myös pienempiä joukkoja. Tällöin kyseessä on osajoukoista. Jos vaikka joukko $A=\{1,2,3,4\}$ , sen osajoukkoja olisivat esimerkiksi $\{1,2\},\; \{2,4\}$ .

Osajoukot

Olkoon joukko $\begin{align*} S=\{\text{a},\text{ b},\text{ c}\}. \end{align*}$ Joukon eräs osajoukko olisi joukko $\{\text{a},\text{ b}\}.$

Jos joukko on joukon osajoukko, niin jokaisen joukon alkio on oltava myös joukon alkio. Tällöin merkitään $\begin{align*} A\subset S. \end{align*}$

Jos joukko ei ole joukon osajoukko, niin merkitään $\begin{align*} A\not\subset S. \end{align*}$

Jokainen joukko on aina myös itsensä osajoukko, eli

$\begin{align*} A\subset A \end{align*}$

Tyhjä joukko $\emptyset$ on jokaisen joukon osajoukko, eli jos joukko on mikä tahansa joukko, niin aina $\emptyset\subset S$ .

# t22

2.2 Tehtävä: Joukot ja niiden osajoukot

Olkoon joukot $\begin{align*} A&=\{2,\;4,\;6,\;\{7\},\;8,\;15,\;20\}\\ B&=\{2,\;6,\;8\}\\ C&=\{1,\;2\}\\ D&=\{6\}\\ E&=\{6,\;\{7\}\} \end{align*}$

Avaa GeoGebra tästä!

appletti

# tehtava2_2

# 2_2_tehtava

# t23

2.3 Johdantotehtävä: Yhdiste, leikkaus ja erotus

Tutustutaan seuraavaksi joukko-opin käsitteisiin yhdiste, leikkaus ja erotus. Tee alla olevat tehtävät. Avaa GeoGebra-appi alla olevasta pudotusvalikosta ja hahmottele tehtävät kuvina!

Hahmottele GeoGebralla seuraava tilanne ja vastaa kysymyksiin.

Piirrä joukko , johon kuuluu alkiot ja .
Piirrä joukko , johon kuuluu alkiona joukko ja myös alkiot ja .
Piirrä joukko , johon kuuluu alkiot ja .
Kirjoita joukot käyttäen joukko-opin merkintöjä ( $A=\{...\}$ ).
Palauta alla olevaan palautuslaatikkoon kuvakaappaus piirroksestasi

Avaa GeoGeobra tästä!

appletti

3.3 Johdantotehtävän palautuslaatikko

# 33Johdantotehtavapalautus

Joukkojen yhdiste, leikkaus ja erotus

Olkoon joukot $A=\{\text{a, b, c}\}$ ja $B=\{\text{a, c, d, e, f}\}$ .

Näiden kahden joukon yhdiste on sellainen joukko, joka sisältää molempien joukkojen alkiot. Yhdistettä merkitään $\bigcup$ :lla. Siis $\begin{align*} A\bigcup B=\{\text{a, b, c, d, e, f}\} \end{align*}$

Joukkojen ja leikkaus sisältää kaikki ne alkiot, jotka löytyvät sekä joukosta että joukosta . Leikkausta merkitään $\bigcap$ :lla. Siis $\begin{align*} A\bigcap B=\{\text{a, c}\} \end{align*}$

Joukkojen ja erotus tarkoittaa, että joukon alkioista poistetaan joukon alkiot, ja luetellaan jäljelle jäänyt joukko. Joukkojen ja erotus merkitään $A\setminus B$ . Siis

$\begin{align*} A\setminus B=\{\text{b}\} \end{align*}$

# t24

2.4 Tehtävä: Yhdiste, leikkaus ja erotus

# tehtava23_a

# tehtava23_b

# tehtava23_c

# Tehtava244aa

# Tehtava244b

# Tehtava244cc

# Tehtava24beaa

# t25

2.5 Tehtävä: Yhdisteet ja leikkaukset

# tehtava24

3. Funktiot

3.1 Johdantotehtävä: Kahden alkion välinen yhteys

Tutustutaan seuraavaksi joukko-opin käsitteitä yhdiste, leikkaus ja erotus. Tee alla olevat tehtävät. Avaa GeoGebra-appi alla olevasta pudotusvalikosta ja hahmottele tehtävät kuvina!

Hahmottele GeoGebralla seuraava tilanne ja vastaa kysymyksiin.

Piirrä joukko , johon kuuluu alkiot ja .
Piirrä joukko , johon kuuluu alkiot ja .
Onko näiden eri joukkojen alkioiden välillä jokin yhteys?
Piirrä joukon alkioista viiva niihin joukon alkioihin, jotka mielestäsi liittyvät yhteen jollain säännöllä.
Palauta alla olevaan palautuslaatikkoon kuvakaappaus piirroksestasi
Vastaa alla oleviin kysymyksiin.

Avaa GeoGebra tästä!

appletti

Avaa tehtävät tästä!

Minkälaisen säännön keksit joukkojen alkioiden välille?

# johdantofunktioihin

4.1 Johdantotehtävän palautuslaatikko

# johdantofunktioihintiedosto

Tarkastellaan seuraavaksi funktioita joukko-opin näkökulmasta. Funktio liittää kahden eri joukon, määrittelyjoukon ja maalijoukon, alkiot toisiinsa. Tarkastellaan ensin, mitä nämä joukot ovat.

Funktio eli kuvaus

Funktio on sääntö, joka liittää jokaiseen määrittelyjoukon alkioon yksikäsitteisesti jonkin maalijoukon alkion. Maalijoukosta voidaan erottaa erilleen arvojoukko, johon sisältyvät vain ne maalijoukon alkiot, joille funktio kuvaa alkion .

Jos on olemassa tälläinen sääntö, joka kuvaa yksikäsitteisesti jokaisen joukon alkion jollekin maalijoukon alkiolle, niin sanotaan, että on funktio eli kuvaus joukolta joukkoon . Tätä merkittäisiin $\begin{align*} f: A\rightarrow B \end{align*}$

Jos funktio f liittää joukon alkion joukon alkioon , niin merkitään $\begin{align*} f(a)=b \end{align*}$

Sanotaan, että funktio kuvaa alkion alkiolle .

Kuvassa oleva sininen ympyrä kuvastaa funktion määrittelyjoukkoa. Funktio kuvaa jokaisen määrittelyjoukon alkion yksikäsitteisesti jollekin maalijoukon alkiolle.

Funktion käsitteeseen liittyvät joukot

Määrittelyjoukoksi kutsutaan sitä joukkoa, jossa funktio on määritelty. Tämän joukon jokainen alkio on mahdollista kuvata funktion avulla jollekin toiselle alkiolle.

Esimerkiksi funktio $f(x)=\ln{x}$ on määritelty vain positiivisilla reaaliluvuilla, eli määrittelyjoukko on $\mathbb{R}^+$ .

Maalijoukoksi kutsutaan sitä joukkoa, johon kuuluvat määrittelyjoukon alkioiden kuvat. Kaikille maalijoukon alkioille ei välttämättä kuvaudu mikään määrittelyjoukon alkio. Esimerkiksi, jos tarkastellaan funktiota f(x)=2x ja rajataan tarkastelussa määrittelyjoukoksi vain kokonaislukujen joukko $\mathbb{Z}=\{...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...\}$ , tällöin funktion maalijoukko on myös ainoastaan kokonaislukujen joukko $\mathbb{Z}$ . Tästä maalijoukosta voidaan vielä erottaa omaksi joukokseen arvojoukon.

Arvojoukko on se maalijoukon osa, jossa ovat ainoastaan ne alkiot, joihin funktio kuvasi määrittelyjoukon alkion. Esimekiksi funktion f(x)=2x arvojoukko on kaikki parilliset kokonaisluvut $\{...,-6,-4,-2,0,2,4,6,...\}$ .

3.2 Tehtävä: Funktio eli kuvaus

a. Olkoon funktio $f(x)=\sqrt{x}$ . Yhdistä oikeat joukon alkiot oikeisiin joukon alkioihin.

# funktiotoikeisiin_1b

# funktiotehtavabee

Käänteisfunktio

Kaikilla funktioilla ei ole olemassa käänteisfunktiota. Käänteisfunktio on olemassa, jos jokaiselle maalijoukon alkiolle kuvautuu täsmälleen yksi määrittelyjoukon alkio.

Tarkastellaan aiemmin käsiteltyä funktiota $f: A\rightarrow B$ . Oletetaan nyt, että kuvaa maalijoukon jokaiselle alkiolle täsmälleen yhden määrittelyjoukon alkion . Silloin tämä funktio liittää nyt jokaiseen alkioon tietyn alkion .

Sääntö, joka liittää jokaiseen joukon alkioon yksikäsitteisesti jonkin joukon alkion , määrittelee käänteisfunktion $f^{-1}$ : $\begin{align*} f^{-1}: B\rightarrow A. \end{align*}$

Käänteisfunktion määrityksestä

Käänteisfunktion määrittäminen tapahtuu käytännössä niin, että ratkaistaan esimerkiksi ensimmäisen asteen yhtälö y=ax+c ( $a\neq 0$ ) muuttujan suhteen: $\begin{align*} x=\frac{y-c}{a}. \end{align*}$ Ja tätä saatua lauseketta merkitään käänteisfunktiona $f^{-1}(y)=\frac{y-c}{a}$ .

Koska olemme tottuneet käyttämään muuttujan paikalla kirjainta , niin vaihdetaan vielä saatuun käänteisfunktioon muuttujan paikalle : $\begin{align*} f^{-1}(x)=\frac{x-c}{a} \end{align*}$

Osalle funktiosta voidaan määrittää helpostikin käänteisfunktio, mutta usein määritys on haastavaa ja työlästä.

3.3 Tehtävä: Käänteisfunktio

Olkoon funktio $f:A\rightarrow B$ nyt eri funktio kuin aiemmassa tehtävässä. Siirrä joukon alkiot oikeisiin kohtiin. Mikä funktio on?

# kaanteisfunktiooikeisiin_1b

Vastausruutu

Kirjoita, mikä on käänteisfunktion lauseke $f^{-1}(x)$

# Kaanteisfuntkionlauseke

Kirjoita, mikä on tällöin funktion lauseke f(x)

# funtkionlauseke

Kuvassa on funktio $f(x)=\sqrt[3]x$ kun $x\in[0,\infty[$ . Tarkastele funktion kuvaajaa ja valitse oikeat vaihtoehdot.

# kaanteisfunktionlukeminenb1

# kaanteisfunktionlukeminenb2

# kaanteisfunktionlukeminenb3

# kaanteisfunktionlukeminenb4

# kaanteisfunktionlukeminenb5

Miten käänteisfunktion $f^{-1}$ arvo voidaan lukea funktion kuvaajasta?

# kaanteisfunktioselitys

Seuraavaksi käsitellään fraktaalin käsite ja sen ominaisuuksia. Fraktaalit ovat itse asiassa joukkoja, joilla on tiettyjä ominaisuuksia.

4. Mitä ovat fraktaalit?

Fraktaalin määritteleminen tarkasti on melko haastavaa, mutta fraktaalina voidaan pitää sellaista kokonaisuutta, joka koostuu pienemmistä osista, jotka ovat kopioita tästä kokonaisuudesta. Fraktaalille tärkeimpiä ominaisuuksia on itsesimilaarisuus sekä fraktaalille ominainen Hausdorffin dimensio.

Yllä olevassa kuvassa Romanescu-kukkakaalissa voit huomata tämän toistuvan rakenteen: koko kaali näyttäisi koostuvan pienemmistä kaalin näköisistä osista.

Fraktaaligeometrian kehittäjänä pidetään Benoit Mandelbrotia, joka oli puolalaisyntyinen matemaatikko. Mandelbrot tutki kaaosteoriaa ja tutki niin kutsuttua luonnon uutta geometriaa.

Ensimmäistä fraktaaliteoriaa kehitettiin tarkoituksena ymmärtää matemaattista sisältöä käyrien jatkuvuudesta ja äärettömyydestä. Mandelbrot toi julki ajatuksen siitä, että fraktaalit ovat löydettävissä myös luonnosta.

Eräitä (jo nyt) klassisia fraktaaleja ovat Kochin lumihiutale, Sierpinskin kolmio sekä Mengerin pesusieni. Lisäksi on Cantorin joukko, Julian joukko sekä Mandelbrotin joukko. Näistä käsitellään tässä materiaalissa ensimmäiset kolme.

4.1 Johdantotehtävä: Mistä kaikkialta luonnosta fraktaaleja voi löytää?

Etsi internetistä tietoa siitä, mistä kaikkialta luonnosta voit löytää itsesimilaarisia rakenteita.

Vastausruutu

# johdatusfraktaaliin

Tarkastellaan seuraavaksi Kochin lumihiutaletta. Eri fraktaalien rakentuminen sisältää paljon samanlaisia pääpiirteitä ja näin ollen myös Kochin lumihiutaleen vaiheet on paikannettavissa myös muiden fraktaalien rakentumisvaiheista.

Kochin lumihiutale

Kyseisen fraktaalin kehittäjä on nimensä mukaisesti Helge van Koch. Kuvion rakentaminen aloitetaan pohjajanasta.
Taso 0:
Tämä pohjajana jaetaan kolmeen yhtä suureen osaan. Näistä keskimmäinen osa korvataan tasasivuisella kolmiolla.
Taso 1:
Edelleen nämä neljä janaa jaetaan jokainen kolmeen osaan. Näistä osista aina keskimmäinen korvataan tasasivuisella kolmiolla.
Taso 2:
Tätä toistaen edetään, jolloin Kochin käyrä saa jo ominaisen muotonsa.
Taso 3:
Jos jokaisella tasolla korvauksen ohessa uutta janaa myös käännetään °, muodostuu suljettu kuvio.
Kochin lumihiutale

4.2 Tehtävä: Sierpinskin kolmio

Järjestele kuviot oikeaan järjestykseen niin, että Sierpinksin kolmion ensimmäinen vaihe on vasemmalla ja viimeinen oikella.

Please to interact with this component.

# Sierpinskikolmioteksti

4.3 Tehtävä: Mengerin pesusieni

# mengerinpesusienia

# Mengeriteksti

4.4 Tehtävä: Muita fraktaaleja

Alla on kuvat Mandelbrotin joukosta sekä Julian fraktaaleista.

Mitä samanlaisia ja erilaisia piirteitä näillä kahdella fraktaalilla on? Kirjoita lyhyt pohdinta siitä, mitä kuvissa näet. Mandelbrotin ja Julian fraktaaleihin ei perehdytä tässä materiaalissa enempää, sillä ne ovat huomattavasti monimutkaisempia käsitellä.

Vastausruutu

# muitafraktaaleja

5. Fraktaalien rakenne

Fraktaalien toistuvaa rakennetta kutsutaan itsesimilaarisuudeksi. Tämän similaarisuuden aiheuttaa similariteettikerroin, joka on jokaiselle fraktaalille ominainen. Lisäksi fraktaaleja käsiteltäessä usein törmätään Hausdorffin dimensioon, eli fraktaalin ulottuvuuteen. Tämä ulottuvuus poikkeaa niistä ulottuvuuksista, joita olemme yleisesti oppineet käyttämään, eli kokonaisluku-ulottuvuuksista.

Hausdorffin dimension määrittäminen

Fraktaalille pätee, että $\begin{align*} F=\bigcup_{i=1}^{m} S_{i}(F), \end{align*}$ jossa $S_{1},S_{2},...$ ovat fraktaalin similariteetteja.

Nyt fraktaalille Hausdorffin dimensio saadaan yhtälöstä, jossa $c_{1},c_{2},...$ ovat similariteettien kertoimia. $\begin{align*} \sum_{i=1}^{m}c_{i}^{s}=1. \end{align*}$

Kerroin $c_{1},c_{2},...$ ilmaisee, mikä on kutistuksen suhde, eli paljonko osaa pienennetään.

5.1 Esimerkki: Hausdorffin dimension määrittäminen

Tarkastellaan Kochin lumihiutaleen Hausdorffin dimensiota. Tiedetään, että Kochin lumihiutale muotoutuu alkujanasta niin, että jana jaetaan aina pienempiin osiin ja korvataan keskimmäinen osa tasasivuisella kolmiolla. Lähtötietona tiedetään, että uuden osan kutistus tapahtuu kertoimella kolme.

Tarkastellaan nyt siirtymistä vaihesta kaksi vaiheeseen kolme, jossa jo alkuperäiseen janaan on jo liitetty tasasivuinen kolmio. Alla olevassa kuvassa yksi jana on jo jaettu kolmeen osaan ja siihen on liitetty tasasivuinen kolmio.

Tämä punainen kuvio on nyt pienennös alkuperäisestä kuviosta. Eli se on $\frac{1}{3}\cdot \text{alkuperäinen}$ . Näitä korvauksia tehdään yhteensä neljä, eli molempiin kolmion sivuihin sekä vaakasuoriin janoihin.

Hyödynnetään nyt määritelmän laskukaavaa Hausdorffin dimension määrittämiselle: $\begin{align*} \sum_{i=1}^{m}c_{i}^{s}=1, \end{align*}$ ja tässä esimerkissä $c_{1}=c_{2}=c_{3}=c_{4}=\frac{1}{3}$

Kirjoitetaan yhtälö auki: $\begin{align*} \sum_{i=1}^{m}c_{i}^{s}&=1\\ c_{1}^{s}+c_{2}^{s}+c_{3}^{s}+c_{4}^{s}&=1\\ \left(\frac{1}{3}\right)^{s}+\left(\frac{1}{3}\right)^{s}+\left(\frac{1}{3}\right)^{s}+\left(\frac{1}{3}\right)^{s}&=1\\ 4\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{s}&=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;||\text{ratkaistaan s}\\ \left(\frac{1}{3}\right)^{s}&=\frac{1}{4}\;\;\;\;\;\;\;\;||\ln ()\\ \ln\left(\frac{1}{3}\right)^{s}&=\ln\frac{1}{4}\\ s\cdot\ln\frac{1}{3}&=\ln\frac{1}{4}\\ s&=\frac{\ln\frac{1}{4}}{\ln\frac{1}{3}}\\ s&=\frac{\ln1-\ln4}{\ln1-\ln3}\;\;\;\;\;\;\;\;||\ln (1)=0\\ s&=\frac{\ln4}{\ln3}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;||\ln (4)=\ln 2^{2}=2\cdot\ln2\\ s&=\frac{2\ln2}{\ln3} \end{align*}$

Kochin lumihiutaleen, jonka kutistuskerroin on , Hausdorffin dimensio $s=\frac{2\ln2}{\ln3}\approx1,26$ .

5.2 Tehtävä: Sierpinskin kolmion Hausdorffin dimensio

Määritä Sierpinskin kolmion Hausdorffin dimensio, kun tiedetään kutistuskertoimen olevan . Sierpinskin kolmion aloitustilanne on tasasivuinen kolmio, joka jaetaan neljään yhtä suureen kolmioon, joista keskimmäinen poistetaan.

Palauta vastaustiedosto tähän.

# Sierpinskinvastaustiedost

Vihje 1

Tarkastele kahta ensimmäistä vaihetta. Kuinka monta varjostettua kolmiota syntyy yhdestä isosta varjostetusta kolmiosta? Montako eri kappaletta siis kutistetaan kertoimella ?

Vihje 2

Uusien pienempien kolmioiden koko on $\frac{1}{2}$ alkuperäisestä, eli $c_{1}=c_{2}=c_{3}=\frac{1}{2}$ .

Ratkaisu

Hyödynnetään nyt määritelmän laskukaavaa Hausdorffin dimension määrittämiselle: $\begin{align*} \sum_{i=1}^{m}c_{i}^{s}=1, \end{align*}$ ja tässä tehtävässä $c_{1}=c_{2}=c_{3}=\frac{1}{2}$

Kirjoitetaan yhtälö auki: $\begin{align*} \sum_{i=1}^{m}c_{i}^{s}&=1\\ c_{1}^{s}+c_{2}^{s}+c_{3}^{s}&=1\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{s}+\left(\frac{1}{2}\right)^{s}+\left(\frac{1}{2}\right)^{s}&=1\\ 3\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{s}&=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;||\text{ratkaistaan s}\\ \left(\frac{1}{2}\right)^{s}&=\frac{1}{3}\;\;\;\;\;\;\;\;||\ln ()\\ \ln\left(\frac{1}{2}\right)^{s}&=\ln\frac{1}{3}\\ s\cdot\ln\frac{1}{2}&=\ln\frac{1}{3}\\ s&=\frac{\ln\frac{1}{3}}{\ln\frac{1}{2}}\\ s&=\frac{\ln1-\ln3}{\ln1-\ln2}\;\;\;\;\;\;\;\;||\ln (1)=0\\ s&=\frac{\ln3}{\ln2}\\ \end{align*}$

Sierpinskin kolmion, jonka kutistuskerroin on , Hausdorffin dimensio $s=\frac{\ln3}{\ln2}\approx1,58$ .

5.3 Tehtävä: Mengerin pesusienen Hausdorffin dimensio

Määritä Mengerin pesusienen Hausdorffin dimensio, kun tiedetään kutistuskertoimen olevan . Mengerin pesusienen aloitustilanne on umpinainen kuutio, joka jaetaan yhtä suureen kuutioon. Samoin kuin Sierpinskin kolmionkin tilanteessa aina keskimmäinen kuutio poistetaan.

Palauta vastaustiedosto tähän:

# SMengerinvastaustiedosto

Vihje 1

Tarkastele kahta ensimmäistä vaihetta. Yksi kuutio jaetaan aina yhtä suureen kuutioon, joista keskimmäiset poistetaan. Yhteensä siis poistetaan kuutiota. Jäljelle jää .

Vihje 2

Uusien pienempien kolmioiden koko on $\frac{1}{3}$ alkuperäisestä, eli $c_{1}=c_{2}=...=c_{20}=\frac{1}{3}$ .

Ratkaisu

Mengerin pesusieni aloitetaan umpinaisesta kuutiosta, joka jaetaan yhtä suureen pienempään kuutioon. Näistä kuutioista poistetaan aina keskimmäinen, eli yhteensä kuutiota. Jäljelle jää tällöin kuutiota, joiden koko on $\frac{1}{3}$ alkuperäisestä.

Kirjoitetaan yhtälö auki: $\begin{align*} \sum_{i=1}^{m}c_{i}^{s}&=1\\ c_{1}^{s}+c_{2}^{s}+...+c_{20}^{s}&=1\\ \left(\frac{1}{3}\right)^{s}+\left(\frac{1}{3}\right)^{s}+...+\left(\frac{1}{3}\right)^{s}&=1\\ 20\cdot\left(\frac{1}{3}\right)^{s}&=1\;\;\;\;\;\;\;\;\;||\text{ratkaistaan s}\\ \left(\frac{1}{3}\right)^{s}&=\frac{1}{20}\;\;\;\;\;\;\;\;||\ln ()\\ \ln\left(\frac{1}{3}\right)^{s}&=\ln\frac{1}{20}\\ s\cdot\ln\frac{1}{3}&=\ln\frac{1}{20}\\ s&=\frac{\ln\frac{1}{20}}{\ln\frac{1}{3}}\\ s&=\frac{\ln1-\ln20}{\ln1-\ln3}\;\;\;\;\;\;\;\;||\ln (1)=0\\ s&=\frac{\ln20}{\ln3}\\ \end{align*}$

Mengerin pesusienen, jonka kutistuskerroin on , Hausdorffin dimensio $s=\frac{\ln20}{\ln3}\approx2,73$ .

6. Ylimääräisiä palautuspaikkoja vastaustiedostoille

Tähän voit tarvittaessa palauttaa tiedostoja, jos esimerkiksi tehtävän vastaus koostuu useammasta kuin yhdestä tiedostosta. Pyri kuitenkin palauttamaan vastaustiedosto vain yhtenä tiedostona itse tehtävän yhteyteen, jotta opettajan on helpompi löytää se.

# Ylimaarainenpalautus1

# Ylimaarainenpalautus2

# Ylimaarainenpalautus3

# Ylimaarainenpalautus4

Joukko-opista fraktaaleihin

Ohjeita käyttäjälle

1. Johdatus joukko-oppiin

1.1 Johdantotehtävä 1

1.2 Johdantotehtävä 2

2. Joukko-opin käsitteitä

2.1 Tehtävä: Joukot ja niiden alkiot

2.2 Tehtävä: Joukot ja niiden osajoukot

2.3 Johdantotehtävä: Yhdiste, leikkaus ja erotus

2.4 Tehtävä: Yhdiste, leikkaus ja erotus

2.5 Tehtävä: Yhdisteet ja leikkaukset

3. Funktiot

3.1 Johdantotehtävä: Kahden alkion välinen yhteys

3.2 Tehtävä: Funktio eli kuvaus

Täydennä arvojoukko.

3.3 Tehtävä: Käänteisfunktio

Täydennä käänteisfunktion arvojoukko.

4. Mitä ovat fraktaalit?

4.1 Johdantotehtävä: Mistä kaikkialta luonnosta fraktaaleja voi löytää?

4.2 Tehtävä: Sierpinskin kolmio

{}

4.3 Tehtävä: Mengerin pesusieni

Mengerin pesusienen kolme ensimmäistä vaihetta.

4.4 Tehtävä: Muita fraktaaleja

5. Fraktaalien rakenne

5.1 Esimerkki: Hausdorffin dimension määrittäminen

5.2 Tehtävä: Sierpinskin kolmion Hausdorffin dimensio

5.3 Tehtävä: Mengerin pesusienen Hausdorffin dimensio

6. Ylimääräisiä palautuspaikkoja vastaustiedostoille