4. Prosenttilaskenta

4.1 Prosentti

Prosentin nimitys tulee latinan kielestä per centum, joka tarkoittaa yksi sadasta. Prosentti siis tarkoittaa sadasosaa, ja sen merkki on $\%$ . Prosenttia käytetään suhteellisen osuuden ilmoittamiseen.

$1\;\text{prosentti}=1 \% =\frac{1}{100}=0,01$

4.1.1 Esimerkki

Ilmaise sadasosina ja desimaalilukuna.

$3\;\%$
$15\;\%$
$-72\;\%$
$125,6\;\%$

Ratkaisu:

$3\;\%=3\cdot \displaystyle\frac{1}{100}=\displaystyle\frac{3}{100}=0,03$
$15\;\%=15\cdot \displaystyle\frac{1}{100}=\displaystyle\frac{15}{100}=0,15$
$-72\;\%=-72\cdot \displaystyle\frac{1}{100}=-\displaystyle\frac{72}{100}=-0,72$
$125,6\;\%=125,6\cdot \displaystyle\frac{1}{100}=\displaystyle\frac{125,6}{100}=1,256$

Prosenttiluvun muunnos desimaaliluvuksi vastaa siis käytännössä pilkun siirtämistä kahden numeron verran vasemmalle.

4.1.2 Esimerkki

Ilmaise prosentteina.

$\displaystyle\frac{4}{5}$

Ratkaisu:

$0,05=100 \cdot \displaystyle\frac{1}{100} \cdot 0,05 = 100$ % $\cdot 0,05=5\;\%$
$7,92=792\;\%$
$0,024=2,4\;\%$
$^{20)}\displaystyle\frac{4}{5}=\frac{80}{100}=80\;\%$

Desimaaliluvun muunnos prosenttiluvuksi vastaa siis kertomista sadalla eli käytännössä pilkun siirtämistä kahden numeron verran oikealle.

Seuraavaksi käydään läpi videollakin esiteltyjä, tyypillisimpiä prosenttilaskuihin liittyviä tehtävätyyppejä esimerkkien kanssa.

Kuinka paljon on prosenttia luvusta ?

Kun kysytään kuinka paljon prosenttia on luvusta , niin tällöin lasketaan tulo $p\cdot a$ Tulossa luku ilmaistaan sadasosina tai desimaalilukuna.

4.1.3 Esimerkki

Opiskelijaryhmän 32 opiskelijasta $62,5\;\%$ on tyttöjä. Tällöin tyttöjä on

$62,5\cdot\displaystyle\frac{1}{100}\cdot32=0,625\cdot32=20.$

4.1.4 Esimerkki

Opintorahasta pidätettiin veroa $10\;\%$ ennen vuotta 2019 . Kuinka paljon opiskelija joutui vuodessa maksamaan veroa opintorahastaan, kun opintorahan suuruus oli $250,96\;\text{€/kk}$ ?

Ratkaisu:

Opiskelija saa vuodessa opintorahaa yhteensä $12\cdot250,96\;\text{€}$ . Tästä verotetaan $10\;\%$ , joten verotettava määrä on:

$10\;\%\cdot12\cdot250,96=\displaystyle\frac{10}{100}\cdot12\cdot250,96=301,152\approx30,15\;\text{(euroa)}.$

(Todellisuudessa opintoraha on verotonta, mutta siitä verotettiin tehtävänannon mukainen $10\;\%$ , jonka sai vuoden päätteeksi veronpalautuksina takaisin. Opintorahan pystyi halutessaan myös nostamaan suoraan verottomana.)

Vastaus: $30,15\;\text{€}$

Kuinka monta prosenttia luku on luvusta ?

Kun kysytään kuinka monta prosenttia on luvusta , niin kyseessä on suhdelasku $\frac{\displaystyle a}{\displaystyle b},$ joka muunnetaan prosenteiksi.

4.1.5 Esimerkki

Kuinka monta prosenttia luku on luvusta ?

$\displaystyle\frac{7}{30}\cdot100\;\%=\frac{70}{3}\;\%=23,33...\;\%\approx23,3\;\%$

4.1.6 Esimerkki

Edmonton Oilersin NHL-jääkiekkoilija Connor McDavidin bruttopalkka on $12\;500\;000$ dollaria ja tämän veronpidätys $5\;966\;250$ dollaria. Mikä on McDavidin veroprosentti?

Ratkaisu:

Lasketaan veronpidätyksen suhde bruttopalkkaan ja muutetaan tämä prosenteiksi:

$\displaystyle\frac{5\;966\;250}{12\;500\;000}=0,4797\approx0.48=48\;\%$

Vastaus: Veroprosentti on $48\;\%$ .

4.2 Muutos- ja vertailuprosentti

Prosenttiluvuilla kuvataan myös suureen muutosta alkuperäisestä arvosta.

Kuinka monta prosenttia muutos on?

$\displaystyle\frac{\text{muutos}}{\text{alkuperäinen arvo}}\cdot 100\;\%$

HUOM! Prosenttiyksikkö on absoluuttisen pronsenttimäärän yksikkö. Esimerkiksi koron noustessa 10 prosentista 11 prosenttiin:

korko kasvaa 10 prosenttia
korko kasvaa yhden prosenttiyksikön

4.2.1 Esimerkki

Vuokra nousi 327 eurosta 333 euroon. Kuinka monta prosenttia vuokra nousi?

Ratkaisu:

Tapa 1:

Lasketaan vuokran muutoksen suuruus: $333-327=6\;\text{(euroa)}$

Lasketaan muutoksen suhde alkuperäiseen vuokraan: $\displaystyle\frac{6}{326}\approx0,018=1,8\;\%$

Tapa 2:

Lasketaan suoraan uuden vuokran suhden alkuperäiseen vuokraan:

$\displaystyle\frac{333}{327}\approx1,018=101,8\;\%$

Lasketaan suhteen ja alkuperäisen vuokran välinen ero, kun alkuperäistä vuokraa vastaava osuus on $100\;\%$ :

$101,8\;\%-100\;\%=1,8\;\%$

Vastaus: Vuokra nousi $1,8\;\%$ .

4.2.2 Esimerkki

Vuoden 2007 uusista ylioppilaista $57\;\%$ ei jatkanut tutkintoon johtavassa koulutuksessa valmistumisvuonnaan. Vuonna 2017 uusista ylioppilaista $72\;\%$ ei jatkanut tutkintoon johtavassa koulutuksessa valmistumisvuonnaan.

Kuinka monta prosenttiyksikköä tutkintoaan jatkamattomien määrä kasvoi vuodesta vuoteen ?
Kuinka monta prosenttia tutkintoaan jatkamattomien osuus kasvoi vuodesta vuoteen ?

Ratkaisu:

Lasketaan muutos prosenttiyksiköissä .

Tutkintoaan jatkamattomien määrä kasvoi prosenttiyksikköä.

Tutkintoaan jatkamattomien osuus kasvoi prosenttiyksikköä, jonka osuus alkuperäisestä osuudesta on:

$\displaystyle\frac{15}{57}\approx0,263=26,3\%.$

Tutkintoaan jatkamattomien osuus kasvoi $26,3\%$ .

Vastaus:

prosenttiyksikköä
$26,3\%$

Vertailuprosentti lasketaan samaan tyyliin kuin muutosprosentti.

Kuinka monta prosenttia on suurempi kuin ?

$\displaystyle\frac{a-b}{b}\cdot100\;\%$

Kuinka monta prosenttia on pienempi kuin ?

$\displaystyle\frac{a-b}{a}\cdot100\;\%$

4.2.3 Esimerkki

Iltalehden tietojen mukaan Vaasalaisen jääkiekkoseura Sportin pelaajabudjetti kaudella 2018-2019 oli 1,5 miljoonan euron suuruinen, kun taas Helsinkiläisen HIFK:n budjetti oli 3,25 miljoonaa euroa.

Kuinka monta prosenttia Sportin pelaajabudjetti oli pienempi kuin HIFK:n?
Kuinka monta prosentti HIFK:n pelaajabudjetti oli suurempi kuin Sportin?

Ratkaisu:

Lasketaan, kuinka monta prosenttia budjettien erotus on HIFK:in budjetista.

$\displaystyle\frac{3,25\;\text{milj. €}-1,5\;\text{milj. €}}{3,25\;\text{milj. €}} \approx 0,538=53,8\%$

Ilveksen pelaajabudjetti oli $53,8\;\%$ pienempi kuin HIFK:n.

Lasketaan, kuinka monta prosenttia budjettien erotus on Sportin budjetista.

$\displaystyle\frac{3,25\;\text{milj. €}-1,5\;\text{milj. €}}{1,5\;\text{milj. €}} \approx 1,167=116,7\%$

HIFK:n pelaajabudjetti oli $116,7\;\%$ suurempi kuin Sport:n.

(Tehtävän olisi voinut ratkaista myös esimerkin 4.2.1 toisella tavalla)

Vastaus:

$53,8\;\%$
$116,7\;\%$

Kun positiivinen luku kasvaa $p\;\%$ , saadaan

$a+\frac{p}{100}\;a=(1+\frac{p}{100})a$

Samoin kun pienenee $p\;\%$ , saadaan

$a-\frac{p}{100}\;a=(1-\frac{p}{100})a$

Näin saadaan laskettua muuttunut arvo.

Korotus

Mikä luku on $p\;\%$ suurempi kuin ?

$(1+\frac{p}{100})a$

Alennus

Mikä luku on $p\;\%$ pienempi kuin ?

$(1-\frac{p}{100})a$

4.2.4 Esimerkki

Pankki tarjoaa $2,5\%$ korkoa vuotuiselle talletuksella. Paljonko pankki antaa vuoden lopuksi takaisin

euron
$555\;555$ euron

talletuksesta?

Ratkaisu:

Pankki tarjoaa $2,5\;\%$ korkoa, joten vuoden lopuksi talletuksen suuruus on $100\%+2,5\%=102,5\%$ alkuperäisestä. Kerrotaan tällä alkuperäisen talletuksen suuruus:

$102,5\;\%\cdot1225=1,025\cdot1225=1255,625\approx1256\;\text{(euroa)}$

Pankki tarjoaa $2,5\;\%$ korkoa, joten vuoden lopuksi talletuksen suuruus on $100\;\%+2,5\;\%=102,5\;\%$ alkuperäisestä. Kerrotaan tällä alkuperäisen talletuksen suuruus:

$102,5\;\%\cdot555\;555=1,025\cdot555\;555=569\;443,8750\approx569\;444\;\text{(euroa)}$

Vastaus:

$1256\;\text{€}$
$569\;444\;\text{€}$

4.2.5 Esimerkki

Nokian osakkeet laskivat aamupäivällä $10,9\;\%$ . Kuinka paljon maksaa aiemmin

$1\;000\;\text{euroa}$
$12\;475\;\text{euroa}$

maksaneet osakkeet?

Ratkaisu:

Osakkeet laskivat $10,9\;\%$ , joten uusi osakkeiden hinta on $100\;\%-10,9\;\%=89,1\;\%$ alkuperäisestä. Kerrotaan tällä alkuperäinen hinta:

$89,1\;\%\cdot1000=0,891\cdot1000=891\;\text{(euroa)}$

Osakkeet laskivat $10,9\;\%$ , joten uusi osakkeiden hinta on $100\;\%-10,9\;\%=89,1\;\%$ alkuperäisestä. Kerrotaan tällä (desimaaliluku) alkuperäinen hinta:

$0,891\cdot12\;475=11\;115,22500\approx11\;115\;\text{(euroa)}$

Vastaus:

$891\;\text{€}$
$11\;115\;\text{€}$

4.3 Prosenttiyhtälöitä

4.3.1 Esimerkki

T-paita maksoi $30\;\%$ :n alennuksen jälkeen 17,95 euroa. Paljonko oli alkuperäinen hinta?

Ratkaisu:

Merkitään muuttujalla T-paidan alkuperäistä hintaa euroina. T-paita oli $30\;\%$ :n alennuksessa, joten siitä maksetaan $100\;\%-30\;\%=70\;\%$ :n osuus, jonka hinta on 17.95 euroa. Tästä saadaan yhtälö:

$\begin{align*} 0,7 x & = 17,95\;\;\;\;\;\;|:0,7 \\ x & = \frac{17,95}{0,7} \\ x &= 25,64285714 \approx 25,64 \end{align*}$

Vastaus: Alkuperäinen hinta oli 25,64 euroa.

4.3.2 Esimerkki

Olkoon tietokoneen hinta. Ilmaise lausekkeena tietokoneen uusi arvo, kun

hinta nousee $30\;\%$
hinta laskee $15\;\%$

Ratkaisu:

Korotuskaavalla saadaan: $\displaystyle\frac{100+30}{100}x=\frac{130}{100}x=1,3x$

(Lausekkeen voisi muodostaa myös siten, että lisää alkuperäiseen osuuteen $30\%$ korotuksen eli $100\;\%+30\;\%=130\;\%=1,3$ ja kertoo tällä alkuperäisen hinnan.)

Alennuskaavalla saadaan: $\displaystyle\frac{100-15}{100}x=\frac{85}{100}x=0,85x$

(Lausekkeen voisi muodostaa myös siten, että vähentää alkuperäisestä osuudesta $15\;\%$ alennuksen eli $100\;\%-15\;\%=85\;\%=0,85$ ja kertoo tällä alkuperäisen hinnan.)

4.3.3 Esimerkki

Mikä oli edellisen esimerkin tietokoneen alkuperäinen arvo, kun sen hinta korotuksen jälkeen oli $907,40\;\text{€}$ ?

Ratkaisu:

Edellisen esimerkin lausekkeen avulla saadaan muodostettua yhtälö

$\begin{align*} 1,3x&=907,4 \\ x&=\displaystyle\frac{907,4}{1,3} \\ x&=698 \end{align*}$

Siis tietokoneen alkuperäinen hinta oli $698\;\text{€}$ .

4.3.4 Esimerkki

Hintaa korotetaan ensin $p\;\%$ . Kuinka monta prosenttia tulisi korotettua hinta alentaa, jotta hinta olisi alkuperäisen suuruinen?

Ratkaisu:

Merkitään muuttujalla alennusta prosentteina.

Hintaa korotetaan $p\;\%$ : $\displaystyle\frac{100+p}{100}h$

Korotettua hintaa alennetaan $x\;\%$ : $\displaystyle\frac{100-x}{100}\displaystyle\frac{100+p}{100}h$

Muodostetaan ja ratkaistaan yhtälö, kun uuden hinnan tulee olla yhtä suuri kuin alkuperäinen:

$\begin{align*} \frac{100-x}{100}\frac{100+p}{100}h & = h && |:h \\ \frac{100-x}{100}\frac{100+p}{100} & = 1 && | \cdot 100 \cdot 100 \\ (100-x)(100+p) &= 10000 \\ 10 000+100p-100x-xp&=10000 && |-10000 \\ 100p-100x-xp&=0 && |+100x+xp \\ 100x+xp&=100p \\ x(100+p)&=100p && |:(100+p) \\ x=\frac{100p}{100+p} \end{align*}$

Vastaus: $\displaystyle\frac{100p}{100+p} \%$